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Il suppose connus les éléments de base de topologie générale, d'intégration et de calcul différentiel. La première partie chapitres I à VII développe des résultats " abstraits " d'analyse fonctionnelle.

La seconde partie chapitres VIII à X concerne l'étude d'espaces fonctionnels " concrets " qui interviennent en théorie des équations aux dérivées partielles ; on y montre comment des théorèmes d'existence " abstraits " permettent de résoudre des équations aux dérivées partielles.

Ces deux branches de l'analyse sont étroitement liées. Historiquement, l'analyse fonctionnelle " abstraite " s'est d'abord développée pour répondre à des questions soulevées par la résolution d'équations aux dérivées partielles. Inversement, les progrès de l'analyse fonctionnelle " abstraite " ont considérablement stimulé la théorie des équations aux dérivées partielles.

Comme en algèbre linéaire, le bidual le dual du dual n'est pas toujours isomorphe à l'espace original, mais il y a toujours un morphisme injectif naturel d'un espace dans son bidual. Le principe de la borne uniforme est un résultat sur des ensembles d'opérateurs bornés. Le théorème spectral donne une formule intégrale pour les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert. Il est d'une importance centrale dans la formulation mathématique de la mécanique quantique.

Le théorème de Hahn-Banach permet de prolonger des formes linéaires définies sur un sous-espace à l'espace tout entier, tout en conservant la norme. Démarche d'analyse structurée qui identifie. La musique. Analyse 2.

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